Napjatost a deformace výrobku

6.5.2015, Ing. Miloš Sova, CSc., Zdroj: Verlag Dashöfer

7.4.1 Napjatost a deformace výrobku

Ing. Miloš Sova, CSc.

Pevnostní posouzení návrhu výrobku zahrnuje především analýzu pole napětí a přetvoření v tělese výrobku pro dané vnější podmínky. Je-li těleso vystaveno působení povrchových, popř. objemových sil (vlastní tíha, setrvačné síly) a zůstává-li (vzhledem k inerciální souřadné soustavě) v klidu, musí pak být v rovnováze každá jeho část, která je myšleně z tělesa oddělena. Silové účinky, kterými působí jedna část tělesa na druhou a naopak, se nazývají vnitřními účinky a jsou v myšleném řezu spojitě rozloženy.

Vydělíme-li ve zvoleném místě tělesa a zvoleném souřadném systému element tělesa, musí opět vnitřní účinky působící na jeho plochách zajistit jeho rovnováhu. Jsou-li tyto účinky vztaženy na jednotku plochy, představují složky napjatosti v daném místě tělesa - obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (a).

Obrázek napjatosti v obecném místě výrobku:

σ_xx τ_xy τ_xz

τ_yx σ_yy τ_yz

τ_zx τ_zy σ_zz

Můžeme je uspořádat do čtvercové matice, kde první index značí normálu plošky elementu, v níž složka působí, druhý index pak souřadnou osu, v jejímž směru působí. Z momentových výminek rovnováhy elementu vyplývá, že τ_ij = τ_ji, a matice složek napjatosti je tedy symetrická (zákon sdružených smykových napětí). Důsledkem této symetrie je existence souřadného systému, v němž je napjatost v daném bodě tělesa vyjádřena pouze normálovými složkami - obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (b), takže matice složek je diagonální:

σ₁ 0 0

0 σ₂ 0

0 0 σ₃

Osy tohoto systému jsou tzv. hlavními osami a normálová napětí tzv. hlavními napětími σ₁, σ₂, σ₃.

Obecná prostorová napjatost, vyjádřená devíti složkami, se v mnohých praktických úlohách zjednoduší tím, že určité složky napětí jsou předem dány jako nulové. Tak napjatost osově symetrických problémů tvoří pouze normálová obvodová, radiální a osová složka napětí a smyková napětí v rovinách xr - viz obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (c).

V případech relativně tenkostěnných výrobků lze složky napětí ve směru normály ke střednici stěny zanedbat a uvažovat pouze dvouosou napjatost, nazývanou též rovinná napjatost. Zvláštní případy napjatostí označované jako rovinná deformace mají v důsledku nulové deformace ve směru normály nenulovou složku napětí v tomto směru.

Obecná rovinná napjatost stěn výrobků, tj. tenkostěnných desek a skořepin, je dána silovými a momentovými výslednicemi vnitřních elementárních sil v průřezech elementu stěny, znázorněnými na obrázku silových a momentových vnitřních účinků ve stěně výrobku.

Obrázek silových a momentových vnitřních účinků ve stěně výrobku:

Silové výslednice jsou tzv. membránové síly (normálové a smykové), momentové výslednice představují ohybové a kroutící momenty. Poněvadž smyková napětí v průřezech stěny jsou sdružená, jsou sdružené i jejich výslednice, tj. platí, že n_xz = n_zx, m_xz = m_zx.

V technické praxi pak rozdělujeme rovinnou napjatost stěn na membránovou a ohybovou.

Stejně jako prostorová napjatost je rovinná napjatost vyjádřena svými složkami, závislými na volbě souřadného systému. Příslušný transformační vztah lze psát ve tvaru

(σ)' = [T] (σ),

kde (σ)' je sloupec složek v souřadném systému pootočeném o úhel φ, [T] je transformační matice:

Tento vztah mezi složkami v navzájem pootočených souřadných systémech lze přehledně graficky znázornit tzv. Mohrovou kružnicí - obrázek Mohrovy kružnice rovinné napjatosti (a).

Mohrova kružnice rovinné napjatosti:

Složky napětí v řezu elementu o normále x jsou v tomto diagramu souřadnicemi bodu X, složky v řezu s normálou y pak souřadnicemi bodu Y. Poněvadž příslušné transformační vztahy jsou goniometrickými funkcemi dvojnásobného argumentu, odpovídá pootočení souřadného systému o úhel φ v Mohrově kružnici o úhel 2 φ. Diagram tak obsahuje úplnou informaci o dané rovinné napjatosti. Lze totiž určit normálová i smyková napětí v kterémkoliv souřadném systému. Jak je znázorněno, jsou hodnoty hlavních napětí dány souřadnicemi průsečíků Mohrovy kružnice s osou normálových napětí.

Zvláštní případy rovinné napjatosti jsou pomocí Mohrovy kružnice znázorněny na obrázku Mohrovy kružnice rovinné napjatosti (b).

Prvním případem je jednoosá napjatost. Její Mohrova kružnice…