dnes je 4.12.2022

Input:

Napjatost a deformace výrobku

6.5.2015, , Zdroj: Verlag Dashöfer

7.4.1 Napjatost a deformace výrobku

Ing. Miloš Sova, CSc.

Vnitřní silové účinky

Pevnostní posouzení návrhu výrobku zahrnuje především analýzu pole napětí a přetvoření v tělese výrobku pro dané vnější podmínky. Je-li těleso vystaveno působení povrchových, popř. objemových sil (vlastní tíha, setrvačné síly) a zůstává-li (vzhledem k inerciální souřadné soustavě) v klidu, musí pak být v rovnováze každá jeho část, která je myšleně z tělesa oddělena. Silové účinky, kterými působí jedna část tělesa na druhou a naopak, se nazývají vnitřními účinky a jsou v myšleném řezu spojitě rozloženy.

Napjatost

Vydělíme-li ve zvoleném místě tělesa a zvoleném souřadném systému element tělesa, musí opět vnitřní účinky působící na jeho plochách zajistit jeho rovnováhu. Jsou-li tyto účinky vztaženy na jednotku plochy, představují složky napjatosti v daném místě tělesa - obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (a).

Obrázek napjatosti v obecném místě výrobku:

Matice složek napjatosti

σxx τxy τxz

τyx σyy τyz

τzx τzy σzz

Můžeme je uspořádat do čtvercové matice, kde první index značí normálu plošky elementu, v níž složka působí, druhý index pak souřadnou osu, v jejímž směru působí. Z momentových výminek rovnováhy elementu vyplývá, že τij = τji, a matice složek napjatosti je tedy symetrická (zákon sdružených smykových napětí). Důsledkem této symetrie je existence souřadného systému, v němž je napjatost v daném bodě tělesa vyjádřena pouze normálovými složkami - obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (b), takže matice složek je diagonální:

Hlavní napětí

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

Osy tohoto systému jsou tzv. hlavními osami a normálová napětí tzv. hlavními napětími σ1, σ2, σ3.

Obecná prostorová napjatost, vyjádřená devíti složkami, se v mnohých praktických úlohách zjednoduší tím, že určité složky napětí jsou předem dány jako nulové. Tak napjatost osově symetrických problémů tvoří pouze normálová obvodová, radiální a osová složka napětí a smyková napětí v rovinách xr - viz obrázek napjatosti v obecném místě výrobku (c).

V případech relativně tenkostěnných výrobků lze složky napětí ve směru normály ke střednici stěny zanedbat a uvažovat pouze dvouosou napjatost, nazývanou též rovinná napjatost. Zvláštní případy napjatostí označované jako rovinná deformace mají v důsledku nulové deformace ve směru normály nenulovou složku napětí v tomto směru.

Obecná rovinná napjatost stěn výrobků, tj. tenkostěnných desek a skořepin, je dána silovými a momentovými výslednicemi vnitřních elementárních sil v průřezech elementu stěny, znázorněnými na obrázku silových a momentových vnitřních účinků ve stěně výrobku.

Obrázek silových a momentových vnitřních účinků ve stěně výrobku:

Membránová napjatost

Silové výslednice jsou tzv. membránové síly (normálové a smykové), momentové výslednice představují ohybové a kroutící momenty. Poněvadž smyková napětí v průřezech stěny jsou sdružená, jsou sdružené i jejich výslednice, tj. platí, že nxz = nzx, mxz = mzx.

Ohybová napjatost

V technické praxi pak rozdělujeme rovinnou napjatost stěn na membránovou a ohybovou.

Rovinná napjatost

Stejně jako prostorová napjatost je rovinná napjatost vyjádřena svými složkami, závislými na volbě souřadného systému. Příslušný transformační vztah lze psát ve tvaru

(σ)' = [T] (σ),

Transformační matice

kde (σ)' je sloupec složek v souřadném systému pootočeném o úhel φ, [T] je transformační matice:

Mohrova kružnice

Tento vztah mezi složkami v navzájem pootočených souřadných systémech lze přehledně graficky znázornit tzv. Mohrovou kružnicí - obrázek Mohrovy kružnice rovinné napjatosti (a).

Mohrova kružnice rovinné napjatosti:

Složky napětí v řezu elementu o normále x jsou v tomto diagramu souřadnicemi bodu X, složky v řezu s normálou y pak souřadnicemi bodu Y. Poněvadž příslušné transformační vztahy jsou goniometrickými funkcemi dvojnásobného argumentu, odpovídá pootočení souřadného systému o úhel φ v Mohrově kružnici o úhel 2 φ. Diagram tak obsahuje úplnou informaci o dané rovinné napjatosti. Lze totiž určit normálová i smyková napětí v kterémkoliv souřadném systému. Jak je znázorněno, jsou hodnoty hlavních napětí dány souřadnicemi průsečíků Mohrovy kružnice s osou normálových napětí.

Zvláštní případy rovinné napjatosti jsou pomocí Mohrovy kružnice znázorněny na obrázku Mohrovy kružnice rovinné napjatosti (b).

Jednoosá napjatost

Prvním případem je jednoosá napjatost. Její Mohrova kružnice

Nahrávám...
Nahrávám...